第一次危机：无理数的诞生。几何量不能完全由整数及其比来表示，挑战了“万物皆数”。
第二次危机：无穷小是否趋近于零？微积分理论建立在无穷小分析之上，但“无穷小量”概念并不清晰。
第三次危机：罗素悖论对康托尔集合论的挑战（此危机还未彻底解决）。理发师宣布，他只给“不给自己刮胡子的人”刮胡子，他自己属于这个“集合”吗？
三次危机在当时引起了极大恐慌，甚至引发了命案。如发现无理数的希伯斯，被扔到海里喂了鲨鱼；而康托尔由于学术观点受到打击，为数学而“疯”，最后死在了精神病医院里。
